第九届"祖冲之杯"数学邀请赛

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/17 04:52:22
如图,P是长方形ABCD内一点,已知PA=3,PB=4,PC=5,求PD^2的值,

过P做两边的垂线，交AB、BC、CD、DA于EFGH
ABCD是矩形，所以PE=BF，PF=BE，PG=CF，DF=AE
AP^2=AE^2+BF^2.....①
BP^2=BE^2+BF^2.....②
CP^2=BE^2+CF^2.....③
DP^2=AE^2+CF^2.....④
①-②+③
AP^2-BP^2+CP^2=AE^2+BF^2-(BE^2+BF^2)+BE^2+CF^2
=AE^2+CF^2=DP^2
所以DP^2=AP^2-BP^2+CP^2=9-16+25=18

你从P点把长方形分成4个格子
很容易看到,PA^2+PC^2=PB^2+PD^2
那么,PD^2=9+25-16=18

如果长方形是 a b
d c, pd^2=pa^2+pc^2-pb^2=18

用解析几何做, 非常简单.